20190916模拟赛T1 求和

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$\mathrm{Problem’s\ Website}$

求和（洛谷）

[HAOI2012]容易题(easy)（大视野评测）

$\mathrm{Problem’s \ Description}$

有一个数列，有$m$个元素，每个元素为$1 \thicksim n$，其中有$k$个限制，使第$i$个元素不能取$num$，问所有排列方案的每个元素的乘积和。

$\mathrm{Solution}$

一看这道题，感觉毫无思路，于是我们来推一下式子，我们假设$n=2,m=2,k=0$，设$A$为第一个元素可能的值的集合，$B$为第二个元素可能的值，那我们不难得出

$ans=A_1 \times B_1 + A_1 \times B_2 + A_2 \times B_1 + A_2 \times B_2$

$\Rightarrow \ A_1 \times (B_1 + B_2) \times A_2 \times (B_1 + B_2)$

$\Rightarrow \ (A_1 + A_2) \times (B_1 + B_2)$

当我们推出这个式子时，我们可以已经拿到$70$分的好成绩了，但想要$\mathrm{AC}$还要再进行优化，虽然$n$的范围很大，但是$k$的范围并不大，于是我们可以单独处理$k$，因为如果没有任何限制，那么$A_1 + A_2 \ == \ B_1 + B_2$，所以除了有限制的元素，其他的元素是一样的，所以我们可以直接快速幂求解，然后我们记录一下有限制的元素的编号和限制的数值，单独处理即可$\mathrm{AC}$。

总结一下式子：

$ans=((1 + n) n / 2) ^ {m - cnt} \times \prod\limits^{cnt}_{i=1}{((1+n)n/2) - a[i]}$

$cnt$为去重后限制元素的个数，$a$数组为限制的值的和。

最后温馨提示：取模要注意负数 & 要开$\mathrm{long\ long}$

$\mathrm{Code}$

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//Coded by Dy.
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define gc getchar()
#define pc(x) putchar(x)
typedef long long ll;
inline ll sc() {
    ll xx = 0, ff = 1; char cch = gc;
    while(!isdigit(cch)) {
        if(cch == '-') ff = -1; cch = gc;
    }
    while(isdigit(cch)) {
        xx = (xx << 1) + (xx << 3) + (cch ^ '0'); cch = gc;
    }
    return xx * ff;
}
inline void out(ll x) {
    if(x < 0)
        pc('-'), x = -x;
    if(x >= 10)
        out(x / 10);
    pc(x % 10 + '0');
}
const int Maxk = 1e5 + 10;
const int mod = 1000000007LL;
#define re register
struct LIM {
	ll id, num;
	bool operator < (const LIM &x) const {
		if(id == x.id)
			return num < x.num;
		return id < x.id;
	}
}lim[Maxk];
ll n, m, k, cnt, ans = 1LL;
ll a[Maxk];
inline ll qw(ll x, ll y) {
	ll ans = 1LL, base = (x % mod);
	while(y) {
		if(y & 1)
			ans = (ans * base) % mod;
		base = (base * base) % mod;
		y >>= 1;
	}
	return ans;
}
int main() {
//	freopen("sum.in", "r", stdin);
//	freopen("sum.out", "w", stdout);
	n = sc(), m = sc(), k = sc();
	for(re int i = 1; i <= k; ++i) {
		ll x = sc(), y = sc();
		lim[i].id = x, lim[i].num = y;
	}
	std :: sort(lim + 1, lim + k + 1);
	for(re int i = 1; i <= k; ++i) {
		if(lim[i].id == lim[i - 1].id) {
			if(lim[i].num == lim[i - 1].num)
				continue;
			a[cnt] += lim[i].num;
		}
		else {
			a[++cnt] += lim[i].num;
		}
	}
	ll tmp = (((1LL + n) * n) >> 1) % mod;
	ans = qw(tmp, (m - cnt));
	for(re int i = 1; i <= cnt; ++i) {
		ans = (ans * (tmp - a[i] + mod) % mod) % mod;
	}
	out(ans), pc('\n');
    return 0;
}

$\mathrm{rp++}$